Vektor

Vektor adalah besaran yang punya besar (panjang) dan arah. Vektor digambar sebagai anak panah dan ditulis dengan huruf bertanda panah, misalnya $\vec{a}$, atau dengan dua titik, misalnya $\overrightarrow{AB}$ (dari $A$ ke $B$).

Menulis vektor

Di bidang koordinat, vektor ditulis sebagai vektor kolom: komponen atas adalah geseran mendatar, komponen bawah adalah geseran tegak.

Vektor dari titik $A(x_1, y_1)$ ke titik $B(x_2, y_2)$ adalah "ujung dikurangi pangkal":

Panjang vektor

Panjang (besar) vektor dicari dengan teorema Pythagoras:

Penjumlahan dan perkalian skalar

Dua vektor dijumlahkan dengan menjumlahkan komponen yang seletak. Secara gambar, letakkan pangkal $\vec{b}$ di ujung $\vec{a}$; hasilnya adalah panah dari pangkal $\vec{a}$ ke ujung $\vec{b}$ (aturan segitiga).

Sumber: dibuat oleh Claude (SVG)

Pada gambar, $\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ dan $\vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$, sehingga:

Pengurangan juga per komponen. Perkalian skalar $k\vec{a}$ mengalikan setiap komponen dengan $k$: panjangnya menjadi $|k|$ kali, dan arahnya berbalik jika $k$ negatif.

Perkalian titik (dot product)

Hasil perkalian titik dua vektor adalah sebuah bilangan, bukan vektor:

Perkalian titik juga berhubungan dengan sudut $\theta$ di antara kedua vektor:

Akibatnya, dua vektor tegak lurus jika dan hanya jika $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ (karena $\cos 90° = 0$).

Vektor di ruang (3 dimensi)

Semua aturan di atas berlaku juga untuk vektor dengan tiga komponen; cukup tambahkan komponen ketiga. Misalnya $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ dan $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$.