Limit

Limit menjawab pertanyaan: jika $x$ mendekati suatu nilai $a$, nilai $f(x)$ mendekati berapa? Yang penting adalah nilai di sekitar $a$, bukan nilai tepat di $a$. Ditulis:

Memahami limit dari grafik

Perhatikan fungsi $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$. Fungsi ini tidak terdefinisi di $x = 2$ (penyebutnya nol), sehingga grafiknya berlubang di titik itu.

Sumber: dibuat oleh Claude (SVG)

Meskipun $f(2)$ tidak ada, jika $x$ mendekati 2 dari kiri maupun dari kanan, nilai $f(x)$ semakin dekat ke 4. Jadi:

Limit ada jika limit kiri ($x \to a^-$) dan limit kanan ($x \to a^+$) bernilai sama.

Cara 1: Substitusi langsung

Coba masukkan $x = a$. Jika hasilnya sebuah bilangan (bukan bentuk $\frac{0}{0}$), itulah limitnya.

Cara 2: Pemfaktoran

Jika substitusi menghasilkan bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$, faktorkan pembilang dan penyebut, coret faktor yang sama, lalu substitusi lagi. Untuk contoh grafik di atas:

Cara 3: Mengalikan sekawan

Jika ada bentuk akar, kalikan pembilang dan penyebut dengan bentuk sekawan akarnya, misalnya sekawan dari $\sqrt{x} - 2$ adalah $\sqrt{x} + 2$ (lihat subtopik Bentuk Akar & Logaritma).

Limit di tak hingga

Untuk fungsi pecahan $\frac{f(x)}{g(x)}$ dengan $x \to \infty$, bandingkan pangkat tertinggi pembilang dan penyebut:

• Pangkat pembilang lebih kecil: limitnya $0$
• Pangkat sama: limitnya adalah perbandingan koefisien pangkat tertinggi
• Pangkat pembilang lebih besar: limitnya $\infty$

Cara kerjanya: bagi setiap suku dengan $x$ berpangkat tertinggi penyebut, lalu gunakan $\frac{1}{x^n} \to 0$.

Limit trigonometri

Untuk $x$ dalam radian, berlaku: