Turunan

Turunan mengukur seberapa cepat nilai fungsi berubah. Secara gambar, turunan $f'(a)$ adalah gradien garis singgung kurva $y = f(x)$ di titik $x = a$.

Sumber: dibuat oleh Claude (SVG)

Pada gambar, garis singgung $y = x^2$ di titik $(1, 1)$ naik 2 satuan setiap bergeser 1 satuan ke kanan. Jadi gradiennya 2, dan memang $f'(x) = 2x$ memberi $f'(1) = 2$.

Definisi dengan limit

Turunan didefinisikan memakai limit (lihat subtopik Limit):

Dalam praktik, kita memakai aturan-aturan di bawah yang diturunkan dari definisi ini.

Aturan dasar

Aturan perkalian, pembagian, dan rantai

Aturan rantai untuk fungsi di dalam fungsi, misalnya $y = [u(x)]^n$:

Persamaan garis singgung

Garis singgung kurva $y = f(x)$ di titik $(a, f(a))$ memiliki gradien $m = f'(a)$, sehingga persamaannya:

Fungsi naik, turun, dan titik stasioner

• $f'(x) > 0$: fungsi naik
• $f'(x) < 0$: fungsi turun
• $f'(x) = 0$: titik stasioner (puncak, lembah, atau titik belok)

Jenis titik stasioner bisa ditentukan dengan turunan kedua $f''(x)$: jika $f''(x) < 0$ titik itu maksimum, jika $f''(x) > 0$ titik itu minimum.

Nilai optimum

Soal cerita "paling besar" atau "paling kecil" diselesaikan dengan: (1) tulis besaran yang dicari sebagai fungsi satu variabel, (2) cari turunannya dan samakan dengan nol, (3) hitung nilainya.